Question

计算不定积分∫xsin＾2xdx

Answer 1

∫xsin²x dx
=∫x*(1-cos2x)/2 dx，利用三角函数恒等式cos2x=1-2sin²x
=(1/2)∫x dx - (1/2)∫xcos2x dx
=(1/2)(x²/2) - (1/2)(1/2)∫xcos2x d(2x)，凑微分
=x²/4 - (1/4)∫x d(sin2x)，凑微分
=x²/4 - (1/4)[xsin2x - ∫sin2x dx]，分部积分法
=x²/4 - (1/4)[xsin2x - (1/2)∫sin2x d(2x)]，凑微分
=x²/4 - (1/4)[xsin2x - (1/2)(-cos2x)] + C
=x²/4 - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C，注意头一项的是x²而不是x

Answer 2

解：原式=(1/2)∫x[1-cos(2x)]dx
=x/2-(1/2)∫xcos(2x)dx
=x/2-(x/4)sin(2x)+(1/4)∫sin(2x)dx (应用分部积分法)
=x/2-(x/4)sin(2x)-(1/8)cos(2x)+C (C是积分常数)。

Answer 3

∫xsin＾2xdx=1/4∫2xsin＾2xd2x
令t=2x
=1/4∫tsin＾tdt=1/4(sint-tcost)
因此
∫xsin＾2xdx=1/4(sin2x-2xcos2x)