Question

函数单调性的求解方法

函数单调性的求解方法，要求详尽，结合试题。

Answer 1

典型题例示范讲解
　　例1已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值
　　命题意图 本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力
　　知识依托 主要依据函数的性质去解决问题
　　错解分析 题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域
　　技巧与方法 借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值
　　解 由 且x≠0,故0　　又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
　　又f(x)在(－3，3)上是减函数，
　　∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,
　　综上得2　　∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },
　　又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－ 知g(x)在B上为减函数，
　　∴g(x)max=g(1)=－4

　　例2已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由
　　命题意图 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力
　　知识依托 主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题
　　错解分析 考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法
　　技巧与方法 主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题
　　解 ∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
　　即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0
　　设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
　　g(t)=t2－mt+2m－2=(t－ )2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正
　　∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；
　　当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>0
　　4－2 　　当 >1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1 ∴m>2
　　综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2
　　另法(仅限当m能够解出的情况) cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0, ］恒成立，
　　等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0, ］恒成立
　　∵当θ∈［0, ］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－2 ，
　　∴m>4－2

　　例3 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,
　　解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0 
　　解 ∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)
　　又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
　　∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0
　　∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ①
　　或 log2(x2+5x+4)≤－2 ②
　　由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③
　　由②得0＜x2+5x+4≤ 得
　　.......

Answer 2

对函数求导，求出导数为零的各个点，以导数为零的点把函数分成各个区间，就各个区间导数的取值来判断：若区间上导数大于零，则函数单调增；若区间上导数小于零，则函数单调减。