Question

求解高等数学题：

Answer 1

第3题 原不等式等价于 1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a
设F(x)=lnx,G(x)=x在(a,b)上由拉格朗日中值定理知
(lnb-lna)/(b-a)=F'(ε)/G'(ε)=1/ε， 而a<ε<b，所以1/b<1/ε<1/a
于是命题得证
第4题∫x^2cosxdx=∫x^2d(sinx)=x^2sinx-∫sinxd(x^2)
=x^2sinx-2∫x*sinxdx=x^2sinx+2∫xd(cosx)=x^2sinx+2xcosx-2∫cosxdx
=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C
第5题联立2个方程先求得交点坐标，这个自己算就可以解得A(2,-2),B(1/2,1)
确定Y方向上的积分限为（-2，1），被积函数为(2-y)/2-y^2/2
所以面积为∫(-2,1)(1-y/2-y^2/2)dy
=(y-y^2/4-y^3/6)|(-2,1)=7/12+5/3=9/4

Answer 2

1、设函数f(x)=lnx,在区间[a,b]上连续，且在(a,b) 上可导，
由拉格朗日中值定理， f(b)-f(a)=f'(ξ）（b-a),ξ∈（a,b),
f'(x)=1/x,
f'(ξ)=1/ξ,
即lnb-lna=ln(b/a)=(b-a)(1/ξ),(1)
由0<a<ξ<b==>1/b<1/ξ<1/a,
因b-a>0,则(b-a)/b<(b-a)/ξ<(b-a)/a,
由（1）式代换，则可得：
(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a.
2、用分部积分法，
原式=∫x^2dsinx
=x^2sinx-∫sinxdx^2
=x^2sinx-2∫xsinxdx
=x^2sinx+2∫xdcosx
=x^2sinx+2xcosx-2∫cosxdx
=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C.
3、解出 交点坐标A（2，-2），B（1/2，1），
S=∫[-2，1）[(2-y)/2-y^2/2]dy
=(1/2)(2y-y^2/2-y^3/3)[-2,1]
=(1/2)[2-1/2-1/3-(-4-4/2+8/3)](1/2)(7/6+10/3)
=9/4.

Answer 3

这个不好做的啊