Question

求不定积分∫1/1+e^x dx，请用换元积分法来做，我需要详细的步骤，谢谢了。

Answer 1

解：（最简便解法）
原式=∫e^(-x)dx/[1+e^(-x)] (被积函数的分子分母同乘e^(-x))
=-∫e^(-x)d(-x)/[1+e^(-x)]
=-∫d[e^(-x)]/[1+e^(-x)]
=-∫d[1+e^(-x)]/[1+e^(-x)]
=-ln[1+e^(-x)]+C (C是积分常数)。

Answer 2

∫1/1+e^x dx
令e^x=t,x=lnt
=∫1/1+t dlnt
=∫1/(1+t )*tdt
=∫[1/t-1/(1+t )]*dt
=lnt-ln(1+t)+c
=lne^x-ln(1+e^x)+c
=x-ln(1+e^x)+c

Answer 3

设e^x=t
则d(e^x)=dt
即e^xdx=dt
则dx=dt/e^x=dt/t
则
∫1/1+e^x dx
= ∫1/(1+t)*1/tdt
=∫[1/t-1/(1+t)]dt
=lnt-ln(1+t)+C
=lne^x-ln(1+e^x)+C
=x-ln(1+e^x)+C