Question

证明一个向量组的任意一线性无关部分组都可扩充成它的一个极大线性无关部分组

Answer 1

设a1,a2,...,as 是某向量组中的一个线性无关部分组
扩充步骤如下:
任取向量组中一个向量β
考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示
(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示
则放弃此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示
则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β
这个部分组为什么线性无关:
设 k1a1k2a2+...+ksas+kβ = 0
由于 β不能由a1,a2,...,as线性表示, 所以有 k =0
所以 k1a1k2a2+...+ksas = 0.
再由 a1,a2,...,as 线性无关, k1=k2=...=ks=0
故 a1,a2,...,as,β 线性无关.

如此进行下去, 遍历整个原向量组, 得一扩充的部分组:
a1,a2,...,ar 满足:
1) 线性无关
2) 原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示
故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.