Question

高数当中，对极限的E-N定义实在无法理解，老师讲的也听不懂，求详细解释。

还有就是 用这个定义求极限

Answer 1

比如说，lim_{n->oo} an = A，其定义为对任何E>0，存在正整数N，当n>N时必有|an-A|<E。这个定义是对几何直观的表述，如果无法理解只能说明你的思维尚无法把几何现象和代数语言联系起来。

对于一个固定的E>0，|x-A|<E的意思是说x到A的距离小于E，如果“E很小”的话就是说“x离A很近”。极限是“无限靠近”的一种精确描述，既然是无限靠近，那么{an}中的项最终会充分接近于A。对于一个给定的E>0。

an迟早会停留在(A-E,A+E)这一区域内而不跑出来，而外面的项最多只有最开始部分的有限项，这一事实的表述就是存在正整数N使得当n>N时必有|an-A|<E。

扩展资料：

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中。

都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：

（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

比如说，lim_{n->oo} an = A，其定义为
对任何E>0，存在正整数N，当n>N时必有|an-A|<E
这个定义是对几何直观的表述，如果无法理解只能说明你的思维尚无法把几何现象和代数语言联系起来。

对于一个固定的E>0，|x-A|<E的意思是说x到A的距离小于E，如果“E很小”的话就是说“x离A很近”。

极限是“无限靠近”的一种精确描述，既然是无限靠近，那么{an}中的项最终会充分接近于A。对于一个给定的E>0，an迟早会停留在(A-E,A+E)这一区域内而不跑出来，而外面的项最多只有最开始部分的有限项，这一事实的表述就是
存在正整数N使得当n>N时必有|an-A|<E
就是说最多只有前N项不在(A-E,A+E)这一区域内，以后的项总是在(A-E,A+E)内部。

然后就要考虑无限靠近，也就是说不管距离E有多小，an最终总会会停留在(A-E,A+E)这一区域内，“不管距离E有多小”这句话翻译出来就是“对于任何E>0”，这句话本身不含有“E越来越小”的意思，但是可以按这种方式去理解，有些书上会另有一种不严格的写法“对于任意小的E”。
把上面的事实组合起来就得到定义
对任何E>0，存在(和E有关的)正整数N，当n>N时必有|an-A|<E

一楼的讲法是不对的，历史上Cauchy给出的定义也含有类似于“无限接近”这样含糊的话，真正严格的E-N定义是同时代的捷克数学家Bolzano给出的，后来由德国数学家Weierstrass大力推广而被广泛接受，所以很多人错误地将这一定义归功于Cauchy或者Weierstrass。

Answer 3

这个定义是法国数学家柯西给的，牛顿－莱布尼茨公式出现时，大家发现导数可以用，但没有严格的基础，后来法国数学家柯西出了E-N定义。如果实在无法理解，请背会。

Answer 4

给个题目解答看看是否有所启发：

用数列极限的E-N定义验证数列xn=2+1/n的极限是2，如何证明？
|xn-2|=|2+1/n-2|=|1/n|
使|xn-2|<e,只要|1/n|<e 即n〉1/e
取N=[1/e],当n>N时|2+1/n-2|<e
即xn=2+1/n的极限是2