Question

函数单调性的证明题 1.证明 y=f(x)=ax²（a＞0），在x∈（0，正无穷）是单调增加。

顺便可以说一下这类证明题的解题思路吗

Answer 1

函数单调性的证明思路：
如果是分段区间，则在相同的区间内证明，然后再在断点处证明。
如果是想这题这样的连续函数，也就是相同区间，那么在区间内假设两个区间内的数x1＜x2，然后f（x1）-f（x2） 通过计算，比较出他们函数值跟零的大小，即可。有的时候，还要进行特殊构造，相除与1比较大小等方法，比较多，但不常见，就不一一列举了。

简单归纳下：第一步假设x1＜x2，第二部f（x1）-f（x2），第三部化简计算跟0比较

此题证明如下：
假设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=ax1²-ax2²=a（x1+x2）（x1-x2）
因为x1，x2∈（0，+∞）所以x1＞0 x2＞0 所以x1+x2＞0
因为x1＜x2 所以x1-x2＜0
因为a＞0
所以a（x1+x2）（x1-x2）＜0 即f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）为单调递增

Answer 2

单调性的话
可以用导数的正负来证明
导数为正，则单调递增；导数为负，则单调递减。
f（x）=ax²
f‘（x）=2ax
当x>0时，f‘（x）》0
所以，f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增。

Answer 3

这个题目是比较基础的
直接假定0≤x1≤x2
f(x1)-f(x2)=a(x1²-x2²）=a(x1+x2)(x1-x2)
因为0≤x1≤x2 且a>0
所以x1+x2>0 x1-x2≤0
f(x1)-f(x2)≤0
考虑x1≤x2
f(x)递增

这类题目的基本证法就是比较f(x1)和f(x2）的大小
当然，对于这题，结果太明显了，尤其在图中一看就出来了，直接记下来就OK了

Answer 4

用定义
设x1<x2,
则y1-y2=f(x1)-f(x2)=a(x1^-x2^2)=a(x1-x2)(x1+x2),
又a>0,x1+x2>0,而x1-x2<0,
故y1-y2=f(x1)-f(x2)=a(x1^-x2^2)=a(x1-x2)(x1+x2)<0,
即y1<y2,因此y=f(x)=ax²（a＞0），在x∈（0，正无穷）是单调增加