Question

设点P是椭圆x^2/25+y^2/16=1上任意一点,A与F分别是椭圆的左顶点与右焦点，求PA向量·PF向量+1/4PA向量·AF

向量的最大值。（不要用参数方程解）

Answer 1

P的参数坐标为（5cosθ，4sinθ）；
坐标A（-5，0）；F（3，0）；
则
向量PA=（-5-5cosθ，0-4sinθ）；
向量PF=（3-5cosθ，0-4sinθ）；
则 向量PA*向量PF+（1/4）向量PA*向量AF
=（-5-5cosθ）（3-5cosθ）+16sin^2 θ +（1/4）（-5-5cosθ，-4sinθ）(-2,0)
=（-5-5cosθ）（3-5cosθ）+16sin^2 θ -（1/2）（-5-5cosθ）
=（-5-5cosθ）(5/2-5cosθ）+16sin^2 θ
=25cos^2 θ +(25/2)cosθ -25/2 +16sin^2 θ
=(16-25/2) + 9cos^2 θ +(25/2)cosθ
=9cos^2 θ +(25/2)cosθ +7/2
=9*[cos^2 θ +(25/18)cosθ + (25/36)^2] +7/2 -625/144
=9*[cosθ + (25/36)]^2 +121/144
≥0+121/144
=121/144.

∴最小值为121/144

Answer 2

设P（x，y），写出向量的坐标，并用坐标算法求向量积，利用椭圆方程消去一个x或y，利用二次函数求解