Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx

已知二次函数f(X)=ax2+bx(a b为常数）且a不等于0
且满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x 有等根
1 求f(x)的解析式
2 若存在实数m(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]如果存在 求m，n的值 若不存在说明理由

Answer 1

1) 将f(-x+5)=f(x-3)， 写成：f(-x+4+1)=f(x-4+1)，因此对称轴为X=1
即-b/(2a)=1
f(x)=x--> ax^2+(b-1)x=0, x=0为一根，有等根则两个根都为0，因此b=1
由上式即得：a=-b/2=-1/2
所以 f(x)=-x^2/2+x
2）f(x)=1/2-1/2(x-1)^2
对称轴为1/2, 最大值为1/2, X只在（0,2)之间函数值为正数。
因此若n为正数，则n需在(0,2)之间，且3n<=1/2, --> n<=1/6,此时最大值为f(n)=-n^2/2+n=3n
解得：n=0, -4, 不符。
若n<=0, 则m<0,此时fmin=f(m)=-m^2/2+m=3m----> m=0 ,-4
fmax=f(n)=-n^2/2+n=3n --> n=0,-4
因此只有一组解：n=0, m=-4