Question

如图,AB‖CD,AB=AC+CD,点E为BD中点.1证明AE⊥CE.2若AB=3CD,S DCE=1,求四边形ABCD的面积

Answer 1

1）延长AE与DC的延长线相交于点F，连接BF

在三角形ABE和三角形FDE中，

因为AB//CD

<ABE=<FDE（内错角相等）

BE=DE（E是BD的中点）

<AEB=AED(对顶角）

所以，三角形ABE和三角形FDE全等

那么，AB=DF

ABFD是平行四边形

因为AB=DF=CD+CF

而AB=CD+AC

所以  CF=AC

三角形ACF是等腰三角形，AF是底边

由于ABFD是平行四边形，那么对角线相互平分，则E是AF的中点

CE是等腰三角形底边AF上的中线，那么也是底边上的高

于是

AE⊥CE

2）若AB=3CD，S DCE=1

四边形ABCD的面积，等于三角形ABC和三角形ADC的面积之和，

S abc=1/2*AB*h (h是平行线AB和CD之间的距离）

S acd=1/2-DC*h

而 S dce=1/2 DC(h/2)=1/4 DC*h=1

那么h=4/DC

因此，四边形ABCD面积=1/2 ABh+1/2 CDh=1/2h(AB+CD)=1/2h*4CD=1/2*(4/CD)*4CD=8