Question

证明：Sin42°-cos12°+sin54°=½

Answer 1

sin42°－cos12°＋sin54°
＝sin42°－sin78°＋cos36°
＝2sin（－18°）cos60°＋1－2（sin18°）^2
＝1－sin18°－2（sin18°）^2
＝1－（√5－1）/4－2［（√5－1）/4］^2
＝1－（√5－1）/4－2［（5－2√5＋1）/16］
＝1－（√5－1）/4－（3－√5）/4
＝1/2。　　证明完毕。

下面证明：sin18°＝（√5－1）/4。
∵sin36°＝cos54°，∴sin（2×18°）＝cos（3×18°），
∴2sin18°cos18°＝4（cos18°）^3－3cos18°。
显然，cos18°＞0，　∴2sin18°＝4（cos18°）^2－3＝4－4（sin18°）^2－3，
∴4（sin18°）^2＋2sin18°－1＝0，∴（2sin18°）^2＋2sin18°－1＝0。
显然，sin18°＞0，∴2sin18°＝［－1＋√（1＋4）］/2。　［只取正号，否则sin18°＜0］
∴sin18°＝（√5－1）/4。

Answer 2

sin42°－cos12°＋sin54°
＝sin42°－sin78°＋sin54°
=-2cos60°sin18°＋sin54°
=sin54°-sin18°
=2cos36°sin18°
=2cos36°sin18°*2cos18°/(2cos18°)
=sin72°/(2sin72°)
=1/2