Question

设f(x)的一个原函数为x^2lnx,求不定积分xf(x)dx，要有详细的过程，越详细越好~~~

Answer 1

解：∵f(x)的一个原函数为x²lnx
∴f(x)dx=d(x²lnx)
故∫xf(x)dx=∫xd(x²lnx)
=x³lnx-∫x²lnxdx (应用分部积分法)
=x³lnx-x³lnx/3+(1/3)∫x²dx (再次应用分部积分法)
=2x³lnx/3+x³/9+C (C是积分常数)。

Answer 2

∫f(x)=x²lnx
f(x)=lnx*2x+x²*1/x
=2xlnx+x

∫xf(x) dx
=∫x*(2xlnx+x) dx
=2∫lnx d(x³/3) + ∫x² dx
=(2/3)x³lnx - (2/3)∫x² dx + ∫x² dx，分部积分法
=(2/3)x³lnx + (1-2/3)*x³/3 + C
=(2/3)x³lnx + (1/9)x³ + C
=(1/9)x³(1+6lnx) + C

Answer 3

可用分步积分
∫xf(x)dx=xF(x)-∫F(x)dx,F(x)是f（x）的原函数,
∫F(x)dx=(1/3x^3)*lnx-(1/9x^3)
∫xf(x)dx=x^3*lnx-(1/3x^3)*lnx+(1/9x^3)
∫xf(x)dx=(2/3)x³lnx + (1/9)x³ + C

Answer 4

f(x)=2xlnx+x,∫x(2xlnx+x)dx=∫2x^2lnx+x^2dx=2/3x^3lnx-2/9x^3+x^3/3