Question

求解高一函数 待定系数法 换元法。。。有4种求f(x)的方法，求详细解释

老师上课讲了，但是不怎么熟练，想详细听下，最好是老师解答，最好有例子

Answer 1

函数f(x)有三要素：定义域、值域、对应关系f。
已知可以用解析法表示的函数的对应关系f(x)满足某些条件，如何求解析式f(x)。这类问题题型较多，有多种解法。但是最常见的有三种解法。
●待定系数法
已知函数名称或类型，求解析式，用待定系数法。
先设出函数解析式，解析式中含一些待定系数。将已知条件代入，通过联立方程组，解出这些待定系数。
★例1 已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=2,f(1)=0,f(-1)=6,求f(x).
设f(x)=ax^2+bx+c,
f(0)=c=2, f(1)= a+b+c=0, f(-1)= a-b+c=6
联立方程,解得
a=1,b=-3,c=2
∴f(x)=x^2-3x+2
★例2已知f{f[f(x)]}=27x+13,求f(x)，
因为f{f[f(x)]}为一次函数
所以可设f（x）=kx+b
由题意，得k(k(kx+b)+b)+b=27x+13
即(k^3)*x+(k^2)*b+k*b+b=27x+13
对比系数得
(k^3)=27，(k^2)*b+k*b+b=13
联立方程,解得k=3,b=1
∴f(x)=3x+1
●换元法
已知复合函数f(φ(x))的解析式，求f(x)的解析式,用换元法。
三部曲令/解/换：先令t=φ(x),解出x=g(t)；再分别代入复合函数f(φ(x))的解析式，化简，得f(t)的解析式；由于同一个函数关系的表达与字母无关，最后将f(t)的解析式里所有t换成x得f(x)的解析式。
不过有的需要先恒等变形，再令。如例4.
★例3 已知f((1-x)/(1+x))=(1-x^2)/(1+x^2),求f(x)的解析式。
令t=(1-x)/(1+x)，x=(1-t)/(1+t)
f(t)=2t/(1+t^2)
∴f(x)=2x/(1+x^2)
★例4已知2f(-tanx)+f(tanx)=sin2x,求f(x).
sin2x=2sinx cosx=2sinx cosx/((sinx)^2+(cosx)^2) =2tanx/((tanx)^2+1)
令t=tanx 则
2f(-t)+f(t)=2t/(t^2+1) ①
这是关于f(t)的函数方程，用构造法解。
●构造法
已知关于f(x)的函数方程，用构造法解。
根据方程特征，通过替换（实质是换元法），构造另一个方程，联立方程得二元方程组，用消元法，解出f(x).
例4（续）在①中，以-t替换t,
2f(t)+f(-t)=-2t/(t^2+1) ②
联立①，②，
可以解得 f(t)=-3t/(t^2+1)
∴f(x)=-3x/(x^2+1)
★例5已知f(x)+2f(1/x)=x,求f(x)
f(x)+2f(1/x)=x, ①
用x替换1/x,得：
f(1/x)+2f(x)=1/x ②
②×2-①（消去f(1/x)）
∴f（x）=2/(3x)-x/3