Question

P在椭圆X平方/4+Y平方／5=1上，F1、F2为两焦点， 角F1PF2=30度，求三角形F1F2P面积

高二数学

Answer 1

由已知得a=√5，b=2，c=1，
在△F1F2P中，由斜弦定理得F1F2² =PF1²+PF2²-2*PF1*PF2*cos30°
上式变形得F1F2² =(PF1+PF2)² -2*PF1*PF2-2*PF1*PF2*cos30°
即F1F2²=(PF1+PF2)² -(2+√3)PF1*PF2
由椭圆定义知，PF1+PF2=2a=2√5，又F1F2=2c=2，代入上式得
2²=(2√5)² -(2+√3)PF1*PF2
整理得PF1*PF2=16*(2-√3)
所以△F1F2P面积=(1/2)PF1*PF2*sin30°=(1/2)*16*(2-√3)*sin30°=4*(2-√3)

Answer 2

椭圆的焦点三角形（就是两个顶点是焦点，另一顶点在椭圆上）的面积有专门公式：
S=b^2*tan(θ/2)，其中θ=∠F1PF2。

对于此题，b=2，θ=30°，所以 S=4*tan(30°/2)=4*(2-√3)=8-4√3。

至于公式的证明，可参看有关书籍，或者追问再证。