Question

函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] （1）当a=1/2时求函数f(x)的最小值

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

思路：首先明确一点，最小值出现在极值点或者区域的边界点。在本题中即可能出现在1这个点和f(x)的导数为零的这个点上，所以我们要先求出导数，及1这一点对应值比较一下，但有的题不一定存在极值点，具体因题而异，对于本题解题如下：
f (x)=x^2+2x+a/x=(x^3+2X^2+a)/x--------------**
f ’（x）=2x+2-a/x^2=(2x^3+2x-a)/x^2
令f '(x)=0则2x^3+2x-a=0 ==>a=2x^3+2x---------@
将@式子代入**式则有此时对应极点值f(x)=3x^2+4x
由于x≥1所以基点值f(x)≥7
而边界值f(1)= 3+a
对于第一问 将a=1/2代入 f(1)=7/2<f(x)的极点值，所以原函数最小值为7/2
对于第二问 思路是保证最小值大于零，最小值的两种可能极值点和边界点都大于零即可
由于f(x) 的极点值恒大于等于7，所以要使f(x)>0，则应使f(1)>0即可
3+a>0 ==>a的取值范围是a>-3

呵呵解题思路，及解题步骤都写得很详细了，望对你有所帮助，盼给分

Answer 2

（1）a=1/2时f(x)=x^2+2x+a/x=x+2+(1/2x)
当x∈[1,+∞)时f′(x)=1-1/2x^2≥0,
f(x)在[1,+∞) 是增函数,f(x)的最小值为f(1)=7/2.
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
只需x^2+2x+a的最小值大于0,即a+3>0,
所以a>-3.

Answer 3

（1）当a＝1/2时 x∈[1,+∞]
∴f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2
∴对f(x)求导得： f'(x)=1-1/(4x^2)
∵x∈[1,+∞] ∴1/(4x^2)＜1 ∴f'(x)=1-1/(4x^2)＞0恒成立
∴f(x)在x∈[1,+∞] 上为增函数 ， ∴x＝1时 f(x)取得最小值为：
f（x）min＝7/2
（2）∵f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2
对任意x∈[1,+∞]，f(x)>0恒成立 即 x+a/x+2＞0
∵x∈[1,+∞] ∴对不等式 x+a/x+2＞0进行移项变形得：
a＞-x^2-2x
令 : g（x）=-x^2-2x , x∈[1,+∞]
∴g（x）=-x^2-2x =-(x+1)^2+1
∴g(x)在 x∈[1,+∞] 上为减函数 ∴g(x)最大值为：
g（x）max=g(1)=-3
∴a＞(-x^2-2x)max=g(x)max=-3
∴a的取值范围为a＞-3