Question

帮个忙解三条数学问题! 1. a,b,c是2x^3+x^2-4x+1=0的根,求: (1)a^2+b^2+c^2 (2)1/ab + 1/ac + 1/bc

2.解方程组
x + ay + (a^2) z +a^3=0
x + by + (b^2) z +b^3=0
x + cy + (c^2) z +c^3=0
a,b,c是方程x+yt+zt^2+t^3=0的三根

3.方程14x^3-13x^2-18x+9=0 三根成调和,解之.
我已经想: 设三根为 1/(a-d) , 1/a , 1/(a+d)

回答得好..必追加赏金

Answer 1

1、由题意，得 a+b+c= -1/2 ,ab+bc+ac= -2 ,abc= -1/2
所以，a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=1/4+4=17/4
1/ab + 1/ac + 1/bc=(a+b+c)/abc=1

2、a,b,c是方程x+yt+zt^2+t^3=0的三根，将a,b,c代入方程x+yt+zt^2+t^3=0，刚好为原方程组。
故知，原方程组的解就是x+yt+zt^2+t^3=0的对应的系数。由根与系数的关系得，
原方程组的解为：x= -abc , y= ab+bc+ac , c= -(a+b+c)

3、据题意知，三根为：1/(a-d) , 1/a , 1/(a+d) 设y=1/x ，则
a-d , a , a+d 为 9y^3-18y^2-13y+14=0 的三根。由根与系数的关系，得
a-d+a+a+d=3a=2 故 a=2/3
(a-d)a(a+d)=a(a^2-d^2)= -14/9 ,把a=2/3 代入 ，解得 d= ±5/3
所以，原方程是根为：-1 , 3/2 , 3/7

Answer 2

1、分解得到(x-1)(2x^2+3x-1)=0
x=1,（-3+根号17）/4,（-3-根号17）/4
得到（1）为17/4
（2）1

追问

能不能用 根與系數的關係去做?
即 -p = i + j + k
q = ij + ik + jk
-r = ijk
這種

Answer 3

莫非楼主需要的是这个
盛金公式
　　Shengjin's Formulas 　　一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 　　总判别式：Δ=B^2－4AC。 　　当A=B=0时，盛金公式①： 　　X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 　　当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： 　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)； 　　X(2,3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)， 　　其中Y(1, 2)=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： 　　X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，　 　　其中K=B/A，(A≠0)。 　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： 　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； 　　X(2,3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法
　　Shengjin's Distinguishing Means 　　①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； 　　②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根； 　　③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 　　④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。