Question

已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18,{bn}是等差数列，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20

如题求（1）求数列｛bn｝的通项公式及｛bn｝的前n项和Sn（2）令Pn=b1+b4+b7+...+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+...+b2n+8,其中n=1,2,3...,试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论请高人指点！谢谢~

Answer 1

(1)a1+a2+a3＞20 说明a2>0
a2^2=a1a3 所以：a2=6
b1+b2+b3+b4=b1+b1+d+b1+2d+b1+3d=26
所以得：4b1+6d=26 得：2b1+3d=13 即：d=(13-2b1)/3
bn=b1+(n-1)d=[13(n-1)-(2n-5)b1]/3
Sn=(b1+bn)n/2=[13(n-1)-(2n-8)b1]n/6
(2)令Pn=b1+b4+b7+...+b3n-2, 是首项为b1，公差为3d 的数列的和
Pn=[(b1+b1+(n-1)3d]n/2=[2b1+(n-1)3d]n/2
Qn=b10+b12+b14+...+b2n+8 是首项为b10，公差为2d 的数列的和
Qn=[(b1+9d)+(b1+9d)+(n-1)2d]n/2=[2b1+(n+6)2d]n/2
所以要比较Pn 与Qn的大小只要比较：(n-1)3d 与 (n+6)2d 就可以了
有：(n-1)3d-(n+6)2d=[3(n-1)-2(n+6)]d=(n-15)d
则有：当(n-15) 与d 同号时有：(n-15)d >0
即：Pn >Qn
当(n-15) 与d 异号时有：(n-15)d <0
即：Pn <Qn
当(n-15)=0 或 d=0 时有：(n-15)d =0
即：Pn =Qn