Question

关于导数

已知f(x)=½x²－a㏑x﹙属于R﹚ 求1 函数f(x)的单调区间 2求证 当x＞1时，½x²＋㏑x＜2x³÷3 要详细答案

Answer 1

1）∵f(x)＝1／2x²－alnx（a∈R）
显然x>0
f(x)'＝x－a／x
令 f(x)'＝0，则x＝|a|
当x>|a|时f(x)'>0所以单调增
当0<x<|a|时f(x)'<0所以单调减
2)
设f(x)=1/2x^2+lnx-2x^3/3
当x>1时，x>1/x
f'(x)=x+1/x-2x^2<x+x-2x^2=2x(1-x)<0所以
f(x)在1到正无穷单调减
所以f(x)<f(1)=0
所以
1/2x^2+lnx<2x^3/3