Question

设二次函数y=f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）-f（x-1）=4x。

1.求f（x） 2.判断奇偶性 3.在[-1,2]上的值域。

Answer 1

解：1 设
y=f(x)=ax²+bx+c
则f(x+1)-f(x-1)=...=4ax+2b=4x
比较两边系数，有
4a=4, 2b=0
故a=1 b=0
又f(0)=c=1
故f(x)=x²+1

2 f(-x)=x²+1=f（x）
故为偶函数

3 ymin=f(0)=1
ymax=f(2)=5

Answer 2

1.二次函数y=f（x）满足f（0）=1，
∴设f(x)=ax^2+bx+1,
∴f（x+1）-f（x-1）=4ax+2b=4x,
比较系数得4a=4,2b=0,
∴a=1,b=0.
f(x)=x^2+1.
2.显然f(-x)=f(x),f(x)是偶函数。
3.f(x)|min=f(0)=1,f(2)=5>f(-1),
∴f(x)在[-1,2]上的值域是[1,5].

Answer 3

1设二次函数y=ax^2+bx+c 因为f(0)=0 所以c=0
a(x+1)^2+b(x+1)-a(x-1)^2-b(x-1)=4x
a(2x+2)+2b=4x
2ax+2(a+b)=4x
a=2 b=-2
所以f(x)=2x^2-2x
2. f(-x)=2x^2+2x≠f(x) f(-x)=2x^2+2x≠-f(x) 所以函数为非奇非偶函数
3.f(x)=2x^2-2x=2(x-1/2)^2-1/4
当x=1/2时 函数最小值为-1/4
最大值 f(-1)=f(2）=17/4

Answer 4

1.f（x）=x² +1
2.偶函数
3.值域为[1,5]

Answer 5

(1)设f(x)=ax^2+bx+c,因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+1)-f(x-1)=4ax+2b=4x,所以a=1,b=0
f(x)=x^2+1
(2)f(-x)=x^2+1=f(x),所以f(x)是偶函数
（3）值域是[1,5],最小值=f(0)=1,最大值=f(2)=5

Answer 6

由f（0）=1,当x=-1时，有f（0）-f（-2）=-4
得f（-2）=5，
同理当x=1时，有f（2）-f（0）=4
得f（2）=5
设二次函数y=f（x）=ax^2+bx+c,
将f（0）=1
f（-2）=5
f（2）=5 代入，得
a=1,b=0,c=1,因此有
f（x）=x^2+1；
又f（x）=x^2+1，f（-x）=x^2+1，即f（x）=f（-x）
显然为偶函数；
f（x）=x^2+1，知，当x=0时，有最值1，f（2）=5，所以在[-1,2]上的值域为[1，5]