Question

线性代数题，苦恼啊。。。。。请求高手帮助。谢谢！

，用克莱姆法则证明：如果f(x)有n+1个互不相同的根，则f(x)是零多项式。

Answer 1

证明: 设x0,x1,...,xn是f(x)的n+1个互不相同的根
则 f(xi) = 0, i=0,1,...,n
即有
c0+c1x0+c2x0^2+...+cnx0^n = 0
c0+c1x1+c2x1^2+...+cnx1^n = 0
... ... ... ...
c0+c1xn+c2xn^2+...+cnxn^n = 0.
把c0,c1,...,cn看作未知量, 上式即为n+1元齐次线性方程组.
其系数行列式 =
1 x0 x0^2 ... x0^n
1 x1 x1^2 ... x1^n
... ... ...
1 xn xn^2 ... xn^n
这是Vandermonde行列式
= ∏(n>=j>i>=0) (xj-xi)
由于 x0,x1,...,xn 两两不等
所以系数行列式不等于0
由Crammer法则知行列式有唯一解
所以 c0=c1=...=cn=0.
故 f(x) 是零多项式.

Answer 2

这东西人人头疼啊
呵呵

追问

那这道题你会不会做啊？？？