Question

关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x-3|=a有解，求a取值范围

Answer 1

关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x-3|=a有解
设f(x)=|x+1|+|x+2|+|x-3|
那么a要大于等于f(x)的最小值

显然最小值是在x=-2或-1或3的地方取得
f(-2)=6,f(-1)=5,f(3)=9
所以最小值是f(-1)=5

那么a≥5

【或者分零点讨论f(x)的最小值的方法也行】

Answer 2

1. x≤-2时 a=-x-1-x-2+3-x=-3x a≥(-3)*(-2)=6
2. -2≤x≤-1时 a=-x-1+x+2+3-x=4-x 5≤a≤6
3. -1≤a≤3时 a=x+1+x+2+3-x=6+x 5≤a≤9
4. a≥3时 a=x+1+x+2+x-3=3x a≥9
综上：a≥5

Answer 3

先求|x+1|+|x+2|+|x-3|的值域：
分为一下区间：x<-2，-2<=x<-1，-1<=x<3，x>=3
第一种情况取绝对值=-x-1+(-x-2)+(-x+3)=-3x>6
第二种情况去绝对值=x+1+(-x-2)+(-x+3)=-x+2，在3到4之间，取到3，取不到4
第三种情况取绝对值=x+1+(x+2)+(-x+3)=x+6，在5到9之间，取到5，取不到9
第四种情况取绝对值=x+1+(x+2)+(x-3)=3x>=9.
另外当x=-2时|x+1|+|x+2|+|x-3|=6
所以|x+1|+|x+2|+|x-3|的值域为：大于等于6.
所以只要a>=6，原方程就有解。

Answer 4

当x大于等于3时，原式为3x=a，此时a的值大于等于9
当-1小于等于x，x小于3时，原式为 x+1+x+2+3-x=x+6=a,此时5小于等于a，a小于等于9
当-2小于等于x，x小于-1时，原式为 -x-1+x+2+3-x=-x+4=a,此时5小于等于a，a小于等于6
当x小于-2时，原式为 -x-1-x-2+3-x=-3x=a,此时a大于6
综上所述，要使方程有解，a大于等于6

Answer 5

解：1. 当x<-2时：x+1<0 , x+2<0 , x-3<0 故|x+1|+|x+2|+|x-3|=-(x+1)-(x+2)-(x-3)=-3x=a
由x<2,故：a=-3x>6 即a>6
2. 当-2<=x<=-1时：x+1<=0 , x+2>=0 , x-3<=0 故|x+1|+|x+2|+|x-3|=-(x+1)+(x+2)-(x-3)
=x+4=a
由-2<=x<=-1,故：5<=a<=6
3. 当-1<=x<=3时：x+1>=0 , x+2>=0 , x-3<=0 故|x+1|+|x+2|+|x-3|=(x+1)+(x+2)-(x-3)=x+6=a
由-1<=x<=3,故： 5<=a<=9
4. 当x>3时：x+1>0 , x+2>0 , x-3>0 故|x+1|+|x+2|+|x-3|=(x+1)+(x+2)+(x-3)=2x=a
由x>3,故：a=2x>6 即a>6
综上所述：要使方程有解，满足上述一种情况即可，故a的范围是上述4种情况的并集：
即：a>=4
希望能帮到你O(∩_∩)O