Question

求lim(x→∞)(3^x +9^x ）^（1/X）的极限

Answer 1

lim (3^x+9^x)^(1/x) as x->∞
=e^lim ln(3^x+9^x)/x
=e^lim (3^x*ln3+9^x*ln9)/(3^x+9^x)，洛必达法则
=e^lim (ln3+3^x*2ln3)/(1+3^x)，上下除以3^x
=e^ln3*lim (1+2*3^x)/(1+3^x)，提取ln3
=3^lim (1/3^x+2)/(1/3^x+1)，上下除以3^x
=3^(0+2)/(0+1)
=3²
=9

追问

请问一开始的e怎么算的？

追答

用转换公式：
x=e^lnx
洛必达法则就是分子和分母分别求导数
例如lim(x->a) f(x)/g(x)
=lim(x->a) f'(x)/g'(x)
用洛必达法则前提是0/0，∞/∞，0*∞，∞^0或0^∞等等
对于这个题目，3^x+9^x->∞，1/x->0
所以是∞^0形式，可用洛必达法则