计算对弧长∫cxds的曲线积分 ，其中C是抛物线y=x2上由点A(0,0)到点B(2,4)的一段弧
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解：∵y=x²
==>y'=2x
==>ds=√(1+y'²)dx=√(1+4x²)dx (0<x<2)
∴原式=∫<0,2>x√(1+4x²)dx
=(1/8)∫<0,2>√(1+4x²)d(1+4x²)
=[(1/8)(2/3)√(1+4x²)³]│<0,2>
=(1/12)[√(1+4*2²)³-√(1+4*0²)³]
=(17√17-1)/12。
==>y'=2x
==>ds=√(1+y'²)dx=√(1+4x²)dx (0<x<2)
∴原式=∫<0,2>x√(1+4x²)dx
=(1/8)∫<0,2>√(1+4x²)d(1+4x²)
=[(1/8)(2/3)√(1+4x²)³]│<0,2>
=(1/12)[√(1+4*2²)³-√(1+4*0²)³]
=(17√17-1)/12。
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