Question

如图直角梯形ABCD中∠ABC=90度 AD//BC AB=BC E是AB中点 CE⊥BD于点O

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

Answer 1

∵∠ABC=90度 CE⊥BD
∴∠ABD=90°-∠BEC=∠BCE
∵AD//BC
∴∠BAD=∠CBE=90°
∵AB=BC
∴△BAD≌△CBE
∴AD=BE (1)得证
∵ E是AB中点
∴AE=AD
∵AB=BC ∠ABC=90度
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45°
∴∠DAC=90°-45°=45°
∴AC平分∠DAE
∴AC是线段ED的垂直平分线 (2)得证
过D作DF⊥BC垂足为F 则AD=BF(矩形对边等)
∵AB=BC AB=2AE=2AD
∴BF=FC
∴DE垂直平分BC
∴△BDC是等腰三角形
(3)得证

Answer 2

分析：（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．
解答：证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=BC，
∴△BAD≌△CBE．
∴AD=BE．

（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA．
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°．
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7．
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE．
即，AC是线段ED的垂直平分线．

（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．

Answer 3

这个我们做过了。
1)∵AD‖BC
∴∠ADB=∠CBD
∵CE⊥BD于点O，
∴∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠CBD=∠BCE
∵∠DAB=∠ABC=RT∠,AB=BC,
∴△ADB≌△BEC(ASA),
∴BE=AD；
2)∵BE=AE=AD,
∴RT△AED为等腰RT△
∵AB=BC,∠ABC=RT∠,
∴∠ACB=∠BAC=45°,∠CAD=90°-∠BAC=90°-45°=45°=∠ACB=∠BAC
∴AC为等腰RT△中∠EAD的角平分线，
∴AC是线段ED的垂直平分线(等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边）
（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．
老师就是这么讲的，希望对你有帮助。我是初二的。

Answer 4

1)∵AD‖BC
∴∠ADB=∠CBD
∵CE⊥BD于点O，
∴∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠CBD=∠BCE
∵∠DAB=∠ABC=RT∠,AB=BC,
∴△ADB≌△BEC(ASA),
∴BE=AD；
2)∵BE=AE=AD,
∴RT△AED为等腰RT△
∵AB=BC,∠ABC=RT∠,
∴∠ACB=∠BAC=45°,∠CAD=90°-∠BAC=90°-45°=45°=∠ACB=∠BAC
∴AC为等腰RT△中∠EAD的角平分线，
∴AC是线段ED的垂直平分线(等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边）
3)是。
AC是线段ED的垂直平分线 CD=CE,
△ADB≌△BEC,CE=BD,
∴CD=BD

Answer 5

（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=BC，
∴△BAD≌△CBE．
∴AD=BE．

（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB=EA．
∵AD=BE，
∴AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°．
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7．
∴EM=MD，AM⊥DE．即AC是线段ED的垂直平分线．

（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形