Question

当-1≤x≤1时， 求函数y=-x2+2ax+1的最大值

Answer 1

函数对称轴为x=-a
当-a≤-1 => a≥1(即x在对称轴右边取值)，
此时x=2，y取到最大值，即2²+2a*2+1=4 => a=-1/4(舍去)

当-a≥2 => a≤-2(即x在对称轴左边取值)，
此时x=-1，y取到最大值，即(
-1)²+2a*(-1)+1=4 => a=-1(舍去)

当-1≤-a≤2 => -2≤a≤1(即对称轴在x的取值范围内)，
①(-a)-(-1)<2-(-a) => a>-1/2(即对称轴距x=-1较近)，
此时x=2，y取到最大值，a=-1/4
②(-a)-(-1)>2-(-a) => a<-1/2(即对称轴距x=2较近)，
此时x=-1，y取到最大值，a=-1
③(-a)-(-1)=2-(-a) => a=-1/2(即对称轴和x=-1与x=2等距)，
此时把x=-1和a=-1/2带入函数，y=3≠4(舍去)

综上，a=-1/4或-1

Answer 2

y=-x^2+2ax+1
y'=-2x+2a
令-2x+2a=0
x=a,y有最大值
当a>1时
Ymax=-1+2a+1=2a
当a<-1时
Ymax=-1-2a+1=-2a
当-1≤a≤1时
Ymax=-a^2+2a*a+1=a^2+1