Question

【超难的数学竞赛题】x,y均为正整数,y大于3,x^2+y^4=2[(x-6)^2+(y+1)^2],求x^2+y^4+15的值.

Answer 1

x² - 24x + 72 + 2(y+1)² - y^4 = 0
(x-12)² = y^4-2(y+1)² + 72 = y^4 - 2y² - 4y + 71
所以y^4-2(y+1)² + 72必须是一个完全平方数
由于y^4 - 2y²+ 1 = (y² - 1)²是一个完全平方数
y^4 - 4y² + 4 = (y² - 2)²是上一个完全平方数，由于当y > 6的时候y^4 >= y^4-2(y+1)² + 72恒成立，并且y^4 - 4y² + 4 < y^4-2(y+1)² + 72对于任意的y恒成立，所以在y > 6的时候 y^4-2(y+1)² + 72如果是完全平方数，那么 y^4-2(y+1)² + 72 = y^4 - 2y²+ 1，此时无整数解，所以 y < 6
检验y = 4和y=5的情况，可以得到y = 5的时候 y^4-2(y+1)² + 72 = 25²为完全平方数
所以此时 x = 37
x^2+y^4+15 = 2009

Answer 2

x=37
y=5
x^2+y^4+15=2009

追问

能写一下关键那几部步吗？谢谢。

Answer 3

方程整理的：（x-12）^2+(y+2)^2=74
因为（x-12）^2>=0，y>3的正整数，得到y<7分别将4，5，6代入，得到当y=5时，x才可能为正整数，x=17
x^2+y^4+15=929

追问

能写一下关键那几部步吗？谢谢。

Answer 4

支持chinship