Question

大一高数

证明：若limf(x)=0, 且g(x)在（a，+∞）有界，则limf(x)g(x)=0
（lim下面都是x趋向正无穷大）

Answer 1

证明：(定义法)
∵g(x)在(a, +∞)有界，
∴存在M>0,使得
|g(x)|<=M
又lim(x→+∞)f(x)=0
∴对任意ε>0,存在正整数N>0,当n>N时,
有|f(x)|<ε/M
∴|f(x)g(x)-0|=|f(x)|*|g(x)|<M*ε/M=ε
根据极限定义有:lim(x→+∞)f(x)g(x)=0
证毕

(夹逼定理法)：
设g(x)上界为M,下界为m，取A=MAX(|M|,|m|),则
-Af(x)≤f(x)g(x)≤Af(x)或Af(x)≤f(x)g(x)≤-Af(x)
∴lim(x→+∞)-Af(x)=-Alim(x→+∞)f(x)=-A*0=0;
lim(x→+∞)Af(x)=Alim(x→+∞)f(x)=A*0=0;
由夹逼定理得
lim(x→+∞)f(x)g(x)=0

Answer 2

因为g(x)在（a，+∞）有界，所以│g（x）│≤M ，x∈（a，+∞）。其中M是一正数。又因为limf(x)=0（x趋向正无穷大） 所以对任意正数ε，存在正数x0，当x>x0时，│f（x）│<ε/M。从而│f（x）g（x）│<ε.所以limf(x)g(x)=0（x趋向正无穷大）