Question

谁能给我30道备战高考数学的集合题型，

不要重复的！ 如果不够30道，但包括集合百分之九十的题型也行！ 如果有别得好方法能让我在数学高考集合类问题上拿分也行!!! 谢谢各位大神了！

Answer 1

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Answer 2

题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
答案 ：12
解析 设两者都喜欢的人数为 人，则只喜爱篮球的有 人，只喜爱乒乓球的有 人，由此可得 ，解得 ，所以 ，即 所求人数为12人。
例1．（2009广东卷理）已知全集 ，集合 和
的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )

A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
答案 B
解析 由 得 ，则 ，有2个，选B.

例2．(2009山东卷理)集合 , ,若 ,则 的值
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

题型2：集合的性质
例3．(2009山东卷理)集合 , ,若 ,则 的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

随堂练习
1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图

由 ，得
∴ 或 .
即A∩B＝φ时a的范围为 或 .而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为 .
评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

例4．已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由
解：∵ ；
∴ ，即 ＝0，解得
当 时， ，为A中元素；
当 时，
当 时，
∴这样的实数x存在，是 或 。
另法：∵
∴ ，
∴ ＝0且
∴ 或 。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 是两层含义： 。
变式题：已知集合 ， , ,求 的值。
解：由 可知，
（1） ，或（2）
解（1）得 ，
解（2）得 ，
又因为当 时， 与题意不符，
所以， 。
题型3：集合的运算
例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数 的定义域集合是A,函数 的定义域集合是B
（1）求集合A、B
（2）若A B=B,求实数 的取值范围．
解 （1）A＝
B＝
（2）由A B＝B得A B，因此
所以 ,所以实数 的取值范围是
例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 易有 ，选A
点评：该题考察了集合的交、补运算。
题型4：图解法解集合问题
例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M= ，N= ，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案 C

例8．湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学（理）试卷
设全集 ，函数 的定义域为A，集合 ，若 恰好有2个元素，求a的取值集合。
解：
时， ∴
∴
，∴
∴
当 时， 在此区间上恰有2个偶数。

2、 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合：
， ．其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 ．若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 ．
（I）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；
（II）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
解：（I）证明：首先，由 中元素构成的有序数对 共有 个．
因为 ，所以 ；
又因为当 时， 时， ，所以当 时， ．
从而，集合 中元素的个数最多为 ，
即 ．
（II）解： ，证明如下：
（1）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．
如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立．
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也不至少有一个不成立，
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
由（1）（2）可知， ．

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人 。
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a的取值范围。
解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。
由 <1，得 <0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。
因为A B，所以 ，于是0≤a≤1。
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠ 。
解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上。
（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ；
当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0，这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。
变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合 ， ,求实数m的取值范围.
分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。
解：

的取值范围是 UM={m|m<-2}.

（解法三）设 这是开口向上的抛物线， ，则二次函数性质知命题又等价于
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},

、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

（Ⅲ）

分析：正确理解
要使 ,
由
当k=0时，方程有解 ,不合题意；
当 ①
又由
由 ②，
由①、②得
∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
题型6：课标创新题
例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：设集合A={甲站在最左端的位置}，
B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中间的位置}，
D={丙站在正中间的位置}，
则集合A、B、C、D的关系如图所示，
∴不同的排法有 种.
点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14．A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有
（1）设 ，证明：
（2）设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的;
（3）设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 H。
解：
对任意 , , , ,所以
对任意的 ，
，
，
所以0< ,
令 = ，
，
所以
反证法：设存在两个 使得 , 。
则由 ，
得 ，所以 ，矛盾，故结论成立。
，
所以

+…
。
点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
五．【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：
如 ；
；
；
；
；
；
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力