Question

求解两道高中数学题，要有详细过程的，多谢

第一题，在三角形ABC中，已知a=2，b=60度，如果存在两个三角形ABC，则b的取值范围是？ 第二题，已知三角形ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2，且b+c=8。 （1）求cosA （2）求S的最大值

Answer 1

1.【解】
因为BC=a=2
要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,半径为2的圆与BA有两个交点,当角A等于90时相切,当角A等于60°时,也只有一解.
所以角A大于60小于90.
根号3/2<sinA<1
由正弦定理：a*sinB=b*sinA,
SinA= a*sinB/b,
SinA=根号3/b,
所以根号3/2<根号3/b<1
解得:根号3<b< 2，即√3<b<2.

2.【解】
S=a^2-(b-c)^2
=a^2-(b^2+c^2)+2bc
=[b^2+c^2-2bc*cosA]-(b^2+c^2)+2bc
=2bc(1-cosA)，
又因S=(1/2)bc*sinA
所以1-cosA=(1/4)sinA
(1-cosA)^2=(1/16)(sinA)^2=(1/16)(1-(cosA)^2)
17(cosA)^2-32cosA+15=0
(17cosA-15)(cosA-1)=0
cosA=15/17 (cosA=1,舍去）

由前面的化简知：
S=2bc(1-cosA) ，
∵cosA=15/17
∴S =4bc/17
又因b+c=8
所以(b+c)^2=64=(b^2+c^2)+2bc≥2bc +2bc=4bc,
∴bc<=16
从而S=4bc/17≤64/17

Answer 2

1、
当只有一个三角形时，b=根号；所以有两个三角形时，画图可得 根号3<b<2
2、
S=1/2*bc*sinA=a^2-b^2-c^2+2bc，因为cosA=-a^2+b^2+c^2/2bc，所以a^2-b^2-c^2=2bc(1/4*sinA-1),cosA=1-1/4*sinA,可算出sin=1/4.
由均值不等式可得，bc最大值=16，所以S最大=2.

Answer 3

（1）由△ABC，∠B=60°，a=2，
存在两个CA和CA′。
过C作CD⊥AB，CD=√3.如果CA与CA′重合，
有CD=CA=CA′，
如果存在两个△ABC，△A′BC，
有CD＜CA＜CB，
即√3＜CA＜2.
∴√3＜b＜2.
（2）由S=a ²-（b-c）²=（1/2）b（8-b）sinA
-（b²+c²-a²）+2bc=（1/2）b（8-b）sinA
-2bccosA+2bc=（1/2）b（8-b）sinA
2bc（1-cosA）=（1/2）b（8-b）sinA
1-cosA=（8-b）sinA/4c=sinA/4
4-4cosA=sinA
16-32cosA+16cos²A=sin²A=1-cos²A
17cos²A-32cosA+15=0
(17cosA-15)(cosA-1)=0
∴cosA=15/17，cosA=1时∠A=0(舍去）
（3）由S=a²-（b-c）²
=-（b²+c²-a²）+2bc
=-2bccosA+2bc
=-（30/17）bc+2bc
=（4/17）bc
=（4/17）b（8-b）
=-（4/17）b²+（32/17）b
=-（4/17）（b²-8b+16）+（64/17）
=-（4/17）（b-4）²+（64/17）
即当b=c=4时，有最大值Smax=64/17.

Answer 4

b/sinB =a/sinA
b=asinB/sinA=2sin60°/sinA=√3/sinA
0＜A＜180°-60°
0＜sinA＜1
所以：b＞√3

S=a^2-(b-c)^2，且b+c=8
S=a^2-(b-c)^2
=a^2-(b^2+c^2)+2bc
=[b^2+c^2-2bc*cosA]-(b^2+c^2)+2bc
=2bc(1-cosA)，
S=(1/2)bc*sinA
1-cosA=(1/4)sinA
(1-cosA)^2=(1/16)(sinA)^2=(1/16)(1-(cosA)^2)
17(cosA)^2-32cosA+15=0
(17cosA-15)(cosA-1)=0
cosA=15/17 (cosA=1,舍去）

S=2bc(1-cosA) ，
cosA=15/17
S =4bc/17
因b+c=8
(b+c)^2=64=(b^2+c^2)+2bc≥2bc +2bc=4bc,
bc≤16
从而S=4bc/17≤64/17