Question

急！大一微积分题目，学长请进

1.设数列{Xn}有界，又limyn=0 证明：lim Xn·yn=0
n→+∞ n→+∞

2设数列{Xn}有界，若X 2k-1→a（k→∞），X 2k→a（k→∞），
证明lim Xn=a （n→∞）
n→∞

3证明数列{sin nπ（派）╱2}的极限不存在。

Answer 1

1. 设 M>0, |x(n)| ≤ M.

limy(n)=0  =>  任给ε>0, 存在正整数N，使得当n>N 时，总有 | y(n) - 0 | < ε/M

                                        此时 | x(n) y(n) - 0 | ≤ M |y(n)| < ε

即证 lim x(n) y(n) =0

2. 见图片

3.  {sin(nπ/2)}  = { 1,0,-1,0, 1,0,-1,0,  ...... }

    取 {sin (nπ/2)} 的两个子列：

    { 1, 1, 1, 1, ...... }

和  {0,0,0,0，…… } 

这两个子列不收敛于同一极限， 故原数列 {sin (nπ/2)} 不收敛 。

Answer 2

就烦极限证明....