Question

三个关于高斯函数的问题（不懂的别凑热闹！！！）

题目如图。。均需严格证明（不懂的别凑热闹！！！）
有答案的做成doc文档发我邮箱zhouzixian0726@yeah.net
如有做出者，不胜感激！！！

Answer 1

第二题是求一个n还是求出所有满足条件的n？

1和3思路都比较明确
第一个设不大于n倍根号7的最大整数是m，原题转化为证明：n倍根号7-m>11/(20n)
分子有理化后，只需证明(7n^2-m^2)/(n倍根号7+m)>11/(20n)
先估计分子：因为完全平方数模7余数只能是1、2、4，所以7n^2-m^2最小只能是3
再估计分母：m<n倍根号7，所以分母小于2*n倍根号7
带入只需证明3/2倍根号7>11/20，显然成立

第三个用威尔逊定理。C(n,p)=n*(n-1)*(n-2)...(n-p+1)/[p*(p-1)...*2*1]
分母(p-1)!模p余-1，分子连续p个数有且仅有1个能被p整除，设这个数是m，剩下p-1个数乘积模p也是-1
所以C(n,p)模p同余于m/p，可以验证这个数就是不大于n/p的最大整数

第二题如果是找到一个满足条件的值不难，8就是个例子，但不知道原题具体要求什么。
通项公式我还没找出。如果原题要求是这个的话还可以进一步算
事实上满足条件的数应该是无穷多的

都是高中竞赛的题，不算太难，同类的题多做几道就有手感了

追问

第二题是求所有n。。好像n只能是2,8,15，没别的了。。不知道怎么证明啊。。
我是初三学生。。感谢大侠！！

追答

恩，昨天有一步看错了

可以通过不等式证明n<16

设不大于根号n的最大自然数是t
首先，n满足 1-2/n<= {根号n} <1-1/n
考虑到n增大时，不等式的两端很接近于n，而{根号n}可以用n和t显式表示出来，可以用左边不等号限定n解出n的范围
有1-2/n<=根号n-t
变形1+t<=根号n+2/n
不等号右边的最小值当n最大时取得，而n不超过t^2+2t
代进去解出t只能是1,2,3
不大于15的再一一验证就行了

细节自己试着补一下吧

初三竞赛就弄这个还是很挑战的。加油吧