Question

a,b,c,d都是正数,S=a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b),求S的取值范围

Answer 1

解答：
a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b)(下面放大分母)
＞a/(a+b+c+d)+b/(a+b+c+d)+c/(c+d+a+b)+d/(c+d+b+a)
=(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1,
=>S>1；
a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b)(下面缩小分母)
＜a/(a+b)+b/(a+b)+c/(c+d)+d/(c+d)
=(a+b)/(a+b)+(c+d)/(c+d)=2,
=>S<2
综合得1＜S＜2.

Answer 2

S=a/(a+b+d)+b/(a+b+c)+c/(b+c+d)+d/(a+c+d)
=(a+b+d)-(b+d)/(a+b+d)+(a+b+c)-(a+c)/(a+b+c)+(b+c+d)-(b+d)/(b+c+d)+(a+c+d)-(a+c)/(a+c+d)
=4-(b+d)/(a+b+d)-(a+c)/(a+b+c)-(b+d)/(b+c+d)-(a+c)/(a+c+d)
a,b,c,d都是正数，有：
0<=(b+d)/(a+b+d)<1，
0<=(a+c)/(a+b+c)<1，
0<=(b+d)/(b+c+d)<1，
0<=(a+c)/(a+c+d)<1
所以有：0<S<=4

Answer 3

s=a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b)
<(a+d)/(a+b+c+d)+(b+c)/(a+b+d+c)+(c+b)/(c+d+a+b)+(d+a)/(c+d+b+d)
=2(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=2（分子分母同加一个数使其扩大）
即s<2;
s=a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b)(放大分母)
＞a/(a+b+c+d)+b/(a+b+c+d)+c/(c+d+a+b)+d/(c+d+b+a)
=(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1,
即S>1；

综合得1＜S＜2.

Answer 4

利用a/b与a+m/b+m的关系来解

Answer 5

采用放缩法，得0〈S〈2。

Answer 6

1＜S＜2.