Question

生日相同的概率问题。

23人中有两个人生日相同的概率高达50%以上。
50人中有两个人生日相同的概率高达97%以上。
问题很经典，我也出一道：

一年级有两个班，一班有20人，二班有30人，问：一班和二班中至少有一名生日相同的概率。
（PS:必须是一班中的一名学生和二班中的一名学生生日相同哦）
要求有算法，有解释。

Answer 1

先考虑一班有1个人时，此人与二班30人中生日相同的概率：
和30个其中一个生日不同的概率是364/365，和30个都不同的概率是（364/365）^30
那么一班如果是2人，都与二班生日不同的概率就是（（364/365）^30）^2=（364/365）^60.
所以当一班有20人时，都与二班生日不同的概率就是（364/365）^（30*20）=0.1928.
那么一班至少有一人与二班生日相同的概率就是1-0.1928=0.8072.
当然，比起50人在一起，至少有2人生日相同的概率要小了。

Answer 2

假设一年有365天，看成365个盒子，我们来看23人中有两个人生日不相同的概率：
23个人的第一个人，有365种选择，因此他选择盒子的概率是365/365
23个人的第二个人，有364种选择，因此他选择盒子的概率是364/365
。。。
23个人的第23个人，有365－22种选择，因此他选择盒子的概率是（365－22）/365
因此23人中有两个人生日相同的概率
＝1－23人中有两个人生日不相同的概率
＝1－365/365×364/365×。。。×（365－22）/365
＝1－
按计算器算吧

第二题也一样

一年级有两个班，一班有20人，二班有30人，问：一班和二班中至少有一名生日相同的概率
是上两个问题的结合
设A＝一班中没有一名生日相同的概率
B＝二班中没有一名生日相同的概率
A∩B＝一班和二班中没有一名生日相同的概率

一班和二班中至少有一名生日相同的概率
＝1－P（A＋B）
＝1一P（A）－P（B）＋P（A∩B）

追问

二题能详细点吗？　　我不懂A∩B怎么计算。

追答

A∩B＝一班和二班中没有一名生日相同的概率
＝50名同学没有一名生日相同的概率，
会了吧

Answer 3

没有道理 一个月30天一年365天 就365个生日 也就是365分之一的概率是生日相同的 一班20个人也就是本班占相同生日的365分之20 就是20除以365 =5.4% 二班30除以365=8.2% 两个班的概率加一起是13.6% 是50人的概率 但两班相同的概率应该是总概率的13.6%乘以50分之20 就是5.4% 如果按你说的50人中生日相同的概率是97% 就直接97%乘以50分之20 等于38%

Answer 4

如果是考试出的概率题，那你可以不用算了，这种属于人脑不能在短时间内计算的概率问题，需要分多种情况讨论。
如果你真的想知道结果，还是编个程序方便：把所有情况列举出来，统计下符合要求的情况。

如果你真的想从数学角度比较方便的计算，我提供个方法，计算起来也很烦，但至少用Excel就可以较快实现。
定义二维数列：a(m,n)表示m个人分到n个月有几种分法
这些分法是由2种分法构成的：
m-1个人分到n个月，剩下那个人随意分到哪个月都行；
m-1个人分到其中的n-1个月，剩下那个分到剩下的那个月。
因此a(m,n)=a(m-1,n)*n+a(m-1,n-1)*n
你在计算的时候只要把初值定义好就行。

计算出a(30,12)之后再除以12^30就行。

用到的是递推的思想，就是每个步骤都是由之前的状态计算出来的，和组合的公式C（m,n）=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)这条性质的本质道理类似。

btw:我很好奇，你模拟怎么模拟？都用到计算机了还只算出个大概的数！每个人生日的月份让计算机随机取？无语了。。。。。。

补充：我忽然想到了，反过来算，有月份没人生日的概率是多少，然后用容斥原理可能会好些。
某月没人生日的概率(11/12)^30，一共12个月，乘以12；但某俩月没人生日的多算了，扣掉；某三个月没人生日的又少算了，加上。。。以此类推。

1-(11/12)^30*C(12,1)+(10/12)^30*C(12,2)-(9/12)^30*C(12,3)……-(1/12)^30*C(12,11)得到的数值大约是0.359145。
其实，后面的数越来越小，如果只需要精确到3位有效数字的话，只需要计算前5项就行，后面的可以忽略不计，得到0.359。

Answer 5