Question

勾股数 3.4.5 ，5.12.13，8.15.17，7.24.25 设勾股数为a，b，c 证明abc一定是60的倍数

就这些了

Answer 1

设a^2+b^2=c^2. （1）
利用性质：奇数的平方除以8余数必为1，
若a,b都是奇数，则（1）式左边被4除余数为2，右边c必为偶数，右边能被4整除，矛盾！
所以a,b至少有一个是偶数。
若a,b都是偶数，则ab是4的倍数；
若a,b一个是奇数，另一个是偶数，则c为奇数，设b为奇数，
于是c^2-b^2=a^2能被8整除，推知a能被4整除，
综上，ab一定能被4整除。

设a=3k+r, r=0,1,2
易见，若a不能被3整除，则a^2除以3余数必为1.
b，c也如此。
若a,b都不能被3整除，则（1）式左边除以3余数为2，但右边余数只能是0或1，矛盾！
所以ab一定能被3整除！

设a=5k+r, r=0,1,2,3,4.
易证a^2除以5余数必为0，1或4，
b，c也如此。
若a,b,c都不能被5整除，则（1）式左边除以5时，余数为1+1，1+4或4+4，右边余数为1或4，
左右不能相等，矛盾！
所以，abc能被5整除。
综上，abc能被60整除。