Question

如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1,0），点C为（1,0），点D为y轴上一点，点A为第二象限一动点，

且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M。
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE；
（3）当A点运动时，（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由。一定要写详细过程！

Answer 1

一、
在三角形ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO；(1)
连接CD，在三角形BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO; (BO=CO=1); (2)
(1)-(2)得，∠ABD-∠ACD=0; 得证。
二、
要证是否角平分线，可证到角两边的距离相等；
过D作DN⊥BE，由于BD=CD, ∠ABD=∠ACD;
所以，RT三角形BDN与RT三角形CDM全等，推得DM=DN；所以AD是∠CAE的角平分线；
三、
由RT三角形BDN与RT三角形CDM全等，得BN=CM；
AD是∠CAE的角平分线，得AN=AM；
又，BN=AN+AB=AM+AB; CM=AC-AM;
得，(AC-AB)/AM=2; 是定值。

Answer 2

一、
在三角形ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-∠BAC=180-2∠BDO；(1)
连接CD，在三角形BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180-2∠BDO; (BO=CO=1); (2)
(1)-(2)得，∠ABD-∠ACD=0; 得证。
二、
要证是否角平分线，可证到角两边的距离相等；
过D作DN⊥BE，由于BD=CD, ∠ABD=∠ACD;
所以，RT三角形BDN与RT三角形CDM全等，推得DM=DN；所以AD是∠CAE的角平分线；
三、
由RT三角形BDN与RT三角形CDM全等，得BN=CM；
AD是∠CAE的角平分线，得AN=AM；
又，BN=AN+AB=AM+AB; CM=AC-AM;
得，(AC-AB)/AM=2; 是定值。

Answer 3

1)∵∠ABD＝180-∠BAC-∠BDC-∠BCA
∠ACD＝∠DCB-∠BCA
所以只要证明∠DCB＝180-∠BAC-∠BDC
∵∠CAB＝2∠ODC=∠BDC，三角形BDC是等腰三角形
∴∠ABD＝∠ACD

Answer 4

解：(1):由题知，∠BAC=∠BDC,设AC交BD于点p，则∠APB=∠DPC,在三角形APB和DPC中，易知∠ABD=∠ACD.
(2)作垂线DQ⊥BE于点Q，在直角三角形BQD和直角三角形CMD中，BD=CD，且∠ABD=∠ACD，易证直角三角形BQD和直角三角形CMD全等，所以DQ=DM，又因为直角三角形DQA和直角三角形DMA中DA为公共边，易证直角三角形DQA和直角三角形DMA中全等，则AD平分∠CAE易得。
（3）（AC-AB）/AM=(AM+MC)/AM-AB/AM=1+MC/AM-AB/AM,因MC=BQ=AQ+AB=AM+AB，所以原式=1+1+AB/AM-AB/AM=2.所以......