Question

已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和，当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得出an=a1q n-1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q^2+q^3），
根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，
代入整理并化简，约去q和a1，得q^2-q-1=0，
解得q=(1±√5)\2 ；
（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若Sm，Sn，S1成等差数列，则也有am+1，an+1，a1+1成等差数列；
若q≠1，由Sm，Sn，S1成等差数列，则有2Sn=S1+Sm，
即有2a1(1-q^n)\(1-q)=a1(1-q^m)\(1-q)+a1 ，
整理化简得2q^n=q^m+q，两边同乘以a1，得2a1q^n=a1q^m+a1q，即2(an+1)=(am+1)+(a1+1)，也就是am+1，an+1，a1+1成等差数列．

Answer 2

s1=a
s3=a(1-q^3)/(1-q)
s4=a(1-q^4)/(1-q)
当S1、S3、S4成等差数列时
2s3=s1+s4
a(1-q^3)/(1-q)=a+a(1-q^4)/(1-q)
(1-q^3)/(1-q)=1+(1-q^4)/(1-q)
(1-q)(1+q+q^2)/(1-q)=1+(1+q)(1-q)(1+q^2)/(1-q)
1+q+q^2=1+(1+q)(1+q^2)
q+q^2=(1+q)(1+q^2)
q(1+q)=(1+q)(1+q^2)
(1+q)(1+q^2)-q(1+q)=0
(1+q)(1-q+q^2)=0
1+q^3=0
q^3=-1
q=-1

Answer 3

推荐答案是错的，答案应该是（1±根号5）/2