Question

初三数学，帮帮忙，O(∩_∩)O谢谢

在杭州服装批发市场,某种品牌的时装季节即将来临,价格成上升趋势,设这种时装开始时定价为20元,并且每周(7天)涨价2元,从第六周开始,当季节即将过去时,平均每周减价2元.直到第十六周,该服装不再销售.

(1)试建立销售y(元)与周次x(周)之间的函数解析式

(2)若这种时装每件进价z(元)与周次x(周)之间的关系为z=-0.125(x-8)^2+12，1≤x≤16,且x为整数,试问该服装在第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润是多少?

Answer 1

这个题并不难，只是复杂了点。
（1）这是一个分段函数，要从 x = 6 时进行分段讨论。另外要搞清楚 x = 1时，即第一周的售价 y 是多少。第一周售价就是开始时的定价，是 20 元。
　　y = 20 + 2(x - 1) = 18 + 2x 1 ≤ x ≤ 6
　　y = 20 + (6 - 1) × 2 - 2(x - 6) = 42 - 2x 6 ≤ x < 16

（2）既然进价和售价的函数都已知道，二者之差就是利润的函数：
　　w = y - z
　　w = 18 + 2x - [-0.125(x - 8)² + 12] = x² / 8 + 14 1 ≤ x ≤ 6
　　w = 42 - 2x - [-0.125(x - 8)² + 12] = x² / 8 - 4x + 38 6 ≤ x < 16
　　显然这两段函数图象都是开口朝上的抛物线，其中，第一个抛物线的平分线在 x = 0 处，第二个抛物线的平分线在 x = 16 处。从图像即可看出，在区间 (1，16) 上，两抛物线有一交点，此处 w 取最大值，令：
　　x² / 8 + 14 = x² / 8 - 4x + 38
　　解得：x = 6；即第六周时的销售例利润最大。
　　将 x = 6 代入函数解析式，得：
　　w = 18.5。此即每件销售的最大利润值。

Answer 2

（1）这是一个分段函数，要从 x = 6 时进行分段讨论。另外要搞清楚 x = 1时，即第一周的售价 y 是多少。第一周售价就是开始时的定价，是 20 元。
　　y = 20 + 2(x - 1) = 18 + 2x 1 ≤ x ≤ 6
　　y = 20 + (6 - 1) × 2 - 2(x - 6) = 42 - 2x 6 ≤ x < 16

（2）既然进价和售价的函数都已知道，二者之差就是利润的函数：
　　w = y - z
　　w = 18 + 2x - [-0.125(x - 8)² + 12] = x² / 8 + 14 1 ≤ x ≤ 6
　　w = 42 - 2x - [-0.125(x - 8)² + 12] = x² / 8 - 4x + 38 6 ≤ x < 16
　　显然这两段函数图象都是开口朝上的抛物线，其中，第一个抛物线的平分线在 x = 0 处，第二个抛物线的平分线在 x = 16 处。从图像即可看出，在区间 (1，16) 上，两抛物线有一交点，此处 w 取最大值，令：
　　x² / 8 + 14 = x² / 8 - 4x + 38
　　解得：x = 6；即第六周时的销售例利润最大。
　　将 x = 6 代入函数解析式，得：
　　w = 18.5。此即每件销售的最大利润值。