Question

如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，

如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为 8√2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

解：1)设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),由△ABF2的周长为 8√2可知2a=4√2,故a=2√2;
由△MF1F2的面积为4，即2ab/2=4,故b=√2
所以x^2/8+y^2/2=1
2)假设存在该点P,则点P到PF1,PF2的距离相等，PQ平分F1PF2，PF1/PF2=F1Q/F2Q(三角形内角平分线定理）。容易求得c=√6，e=√3/2,PF1=a+ex0=2√2+(√3x0/2),PF2=2√2-(√3x0/2)
所以容易解得x0=4/3,代入椭圆方程求得y0=±√14/3
所以P(4/3,±√14/3)