Question

对于行列式或矩阵的初等变换，可以同时使用行变换和列变换吗？

听说对于行列式可以同时使用行变换和列变换，
而对于矩阵则只能单独使用行变换或者列变换。
为什么？请给出理由。
谢谢。

Answer 1

行列式中是可以同时行变换和列变换同时使用的。

矩阵的初等变换不能同时行变换和列变换同时使用的。

在使用时候，还是要分场合进行讨论：

1、求矩阵的秩可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩阵的秩不变”。（一定要用可逆变换，否则至少自己保证安全性。）

2、对于行列式求值而言，可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。行列式的计算只要得出结果出来就行了，是否使用哪种方法要结合行列式乘积定理来理解。

3、如果是解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。

4、如果求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换。

5、解方程组Ax=b，那么两种变换都可以用，但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项，列变换则需要保留信息，以便最后求解的时候用。

扩展资料：

初等变换的类型（行初等变换、列初等变换统称矩阵的初等变换）：

1、位置变换：把矩阵第i行与第j行交换位置，记作：r(i)<-->r(j)。

2、倍法变换：把矩阵第i行的各元素同乘以一个不等于0的数k，记作：k*r(i)。

3、消法变换：把矩阵第j行各元素同乘以数k，加到第i行的对应元素上去，记作：r(i)+k*r(j)，这条需要特别注意，变的是第i行元素，第j行元素没有变。

参考资料来源：百度百科-初等变换

Answer 2

楼上你这样其实是在误导小朋友，不要武断地说可以或不可以。
楼主也请注意，先要想清楚你做变换的目的是什么，然后才能考虑行变换或列变换是否能达到这个目的。另外就是要搞清楚行变换和列变换到底是怎么回事，搞不清楚只背出一个可以或者不可以的结论完全没用。

先明确一下，行变换的直观表示相当于左乘一个变换矩阵，列变换则相当于右乘一个变换矩阵，这个一定要搞清楚，比背结论重要多了。

对于行列式而言绝大多数时候是求值，可以随便使用行变换和列变换以及其它手段，算出来就行了，至于为什么可以，自己去看行列式的基本性质，并结合行列式乘积定理来理解。

对于矩阵而言，做什么样的变换就要看需求了，绝大多数时候都是可以使用列变换的，有时甚至是必须同时使用行变换和列变换的。

如果是解方程组Ax=b，那么两种变换都可以用，但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项，列变换则需要保留信息以便最后求解的时候用。
完全按矩阵乘法来写就是说把A变换成C=L*A*R，让C的形式比较简单，然后解出x=R*C^{-1}*L*b，L*b相当于对A作用行变换L的时候在b上也要作用L（可以理解成L的具体形式不需要保留），然后解方程Cy=Lb得到y，最后x=Ry就要把列变换都还原回去，所以不要在做列变换的时候把R的信息随意扔掉。
另外注意，不要像楼上那样认为使用列变换R是愚蠢的，有些问题使用列变换可以极大地简化，有时甚至是本质性地简化。

如果是求矩阵的秩，那么很显然行列变换可以随意使用，没有什么限制（当然一定要用可逆变换，否则至少自己保证安全性）。

如果要对二次曲面归类，那么这时候本质上需要同时使用行变换和列变换（操作的时候可以只使用单侧变换，另一侧的变换相差一个转置，逻辑上仍然是双侧变换）。

如果要求相似标准型，这个时候必须使用双侧变换，因为相似变换是双侧变换，而且其联系并不像合同变换那样平凡，即便只是操作上使用单侧变换基本上也很难保持信息不丢失。

Answer 3

矩阵实际上来源于一元N次方程组的未知数系数，增广矩阵是一元N次方程组的未知数系数加上常数项，
因此，我们在运用加减消元法的时候，x1和系数是不可以和x3的系数相消的，也就是矩阵不可以进行列变换的根本原因。因此矩阵只能进行行变换，消的是同一未知数的系数。

追问

那行列式呢？

追答

行列式是方阵，不牵涉未知数，因此可以随意进行行变换和列变换。

追问

那请问在用初等变换求逆矩阵的时候，还有解方程的时候，可不可以行变换和列变换交换使用呢?

追答

这个是可以的，也就是说，只要牵涉了未知数，解方程，就不可以进行列变换。

追问

按你的意思说，除了用初等变换解方程之外，对于其余的情况，无论是行列式还是矩阵，都可以同时使用行变换和列变换咯？
我说的同时使用，指的是比方说第一步用的是列变换，第二步用行变换，第三步又用列变换。 你看看这样行不？

追答

行列式可以。
矩阵不可以。
比如矩阵在求秩的时候，只能进行列交换，而不能进行列变换。交换就是将两列对换位置，不可以进行加减。不知道这次说清楚了没有。

追问

两列交换也算是初等变换中的一种了哦

追答

矩阵只可交换，不可加减，我们指的行列式，常用的是将一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上。

追问

可是，在求秩的时候，明明可以对矩阵进行行变换啊，比方说某行的k倍加到另一行上去。

追答

晕，搞了半天你还没明白。行变换对行列式和矩阵都一样，现在你的问题是讨论列变换，区别在列变换上，不知道老弟明白了没有。

行列式可以随意列变换，而矩阵只可以对列对调，其他的都不可以。清楚了没有？

追问

这下算是完全明白你要表达的意思了。
不过还留下一个问题，那就是：对于行列式，我们可以第一步使用行变换，第二步使用列变换，第三步又使用行变换吗？ 对于矩阵，我们可以第一步使用行变换，第二步使用列交换，第三步又使用行变换吗？

追答

对于行列式，我们可以第一步使用行变换，第二步使用列变换吗？

当然是可以的

对于矩阵，我们可以第一步使用行变换，第二步使用列交换吗？
也是可以的
但是矩阵不鼓励用列交换，后产生很多不好的效果（除了求秩的时候），比如列交换后，未知数的位置发生了变化，在求基础解系时就要特别的注意，还有，如果把矩阵表示成行向量空间的话，列交换是极其愚蠢的行为。

追问

这么说，我又还有个问题呢。
按你的意思，行变换和列变换不会有好处咯？这么说一直保持使用行变换是最好的方法吗？

追答

是的啊，我实在困了就休息了，可是又睡不着。

对于矩阵，一直保持使用行变换是最好的方法。
当然对于不同的矩阵有不同的方法，但一般情况下，不建议用列变换，会引出好多问题。

Answer 4

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