对于行列式或矩阵的初等变换,可以同时使用行变换和列变换吗?
而对于矩阵则只能单独使用行变换或者列变换。
为什么?请给出理由。
谢谢。 展开
行列式中是可以同时行变换和列变换同时使用的。
矩阵的初等变换不能同时行变换和列变换同时使用的。
在使用时候,还是要分场合进行讨论:
1、求矩阵的秩可以行初等变换和列初等变换混用,因为“经初等变换矩阵的秩不变”。(一定要用可逆变换,否则至少自己保证安全性。)
2、对于行列式求值而言,可以随便使用行变换和列变换,以及其它手段。行列式的计算只要得出结果出来就行了,是否使用哪种方法要结合行列式乘积定理来理解。
3、如果是解线性方程组只能用初等行变换,才能保证同解。
4、如果求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换。
5、解方程组Ax=b,那么两种变换都可以用,但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项,列变换则需要保留信息,以便最后求解的时候用。
扩展资料:
初等变换的类型(行初等变换、列初等变换统称矩阵的初等变换):
1、位置变换:把矩阵第i行与第j行交换位置,记作:r(i)<-->r(j)。
2、倍法变换:把矩阵第i行的各元素同乘以一个不等于0的数k,记作:k*r(i)。
3、消法变换:把矩阵第j行各元素同乘以数k,加到第i行的对应元素上去,记作:r(i)+k*r(j),这条需要特别注意,变的是第i行元素,第j行元素没有变。
参考资料来源:百度百科-初等变换
2024-08-07 广告
楼主也请注意,先要想清楚你做变换的目的是什么,然后才能考虑行变换或列变换是否能达到这个目的。另外就是要搞清楚行变换和列变换到底是怎么回事,搞不清楚只背出一个可以或者不可以的结论完全没用。
先明确一下,行变换的直观表示相当于左乘一个变换矩阵,列变换则相当于右乘一个变换矩阵,这个一定要搞清楚,比背结论重要多了。
对于行列式而言绝大多数时候是求值,可以随便使用行变换和列变换以及其它手段,算出来就行了,至于为什么可以,自己去看行列式的基本性质,并结合行列式乘积定理来理解。
对于矩阵而言,做什么样的变换就要看需求了,绝大多数时候都是可以使用列变换的,有时甚至是必须同时使用行变换和列变换的。
如果是解方程组Ax=b,那么两种变换都可以用,但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项,列变换则需要保留信息以便最后求解的时候用。
完全按矩阵乘法来写就是说把A变换成C=L*A*R,让C的形式比较简单,然后解出x=R*C^{-1}*L*b,L*b相当于对A作用行变换L的时候在b上也要作用L(可以理解成L的具体形式不需要保留),然后解方程Cy=Lb得到y,最后x=Ry就要把列变换都还原回去,所以不要在做列变换的时候把R的信息随意扔掉。
另外注意,不要像楼上那样认为使用列变换R是愚蠢的,有些问题使用列变换可以极大地简化,有时甚至是本质性地简化。
如果是求矩阵的秩,那么很显然行列变换可以随意使用,没有什么限制(当然一定要用可逆变换,否则至少自己保证安全性)。
如果要对二次曲面归类,那么这时候本质上需要同时使用行变换和列变换(操作的时候可以只使用单侧变换,另一侧的变换相差一个转置,逻辑上仍然是双侧变换)。
如果要求相似标准型,这个时候必须使用双侧变换,因为相似变换是双侧变换,而且其联系并不像合同变换那样平凡,即便只是操作上使用单侧变换基本上也很难保持信息不丢失。
因此,我们在运用加减消元法的时候,x1和系数是不可以和x3的系数相消的,也就是矩阵不可以进行列变换的根本原因。因此矩阵只能进行行变换,消的是同一未知数的系数。
那行列式呢?
行列式是方阵,不牵涉未知数,因此可以随意进行行变换和列变换。