Question

在直三棱柱ABC--A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点。求证:MN⊥平面A1BC1

哦，是平面A1BC,嘻嘻，眼花了

Answer 1

要想证明直线垂直于平面，只要证明直线同时垂直于平面中的两条直线即可；
设AC=BC=CC'=1;
连接MC‘, 因为MC'和A'B都在平面A’BC‘中，在此想办法证明MN⊥MC'和MN⊥A'B;
一、连接BN，在三角形BMN中，只要证明BN^2=BM^2+MN^2即可；
BN^2=BB'^2+B'N^2=1^2+0.5^2=5/4;
BM^2=(A'B/2)^2=(AB^2+AA'^2)/4=3/4;
MN^2=(AC'/2)^2=(AC^2+CC'^2)/4=2/4;
所以BN^2=BM^2+MN^2，即MN⊥BM(与A'B同线)
二、在三角形MNC’中，只要证明NC'^2=MN^2+MC'^2即可；
过M点作A‘B’的垂线，交于D，MD=BB‘/2=0.5; DC'=A'B'/2=√2/2; 得MC’=√(MD^2+DC‘^2)=√3/2;
MC’^2=3/4;
NC'^2=(B'C'/2)^2=1/4;
MN^2=2/4;
所以NC'^2<MN^2+MC'^2,即MN不垂直于MC‘；
所以MN⊥平面A1BC1不成立（与任一条平面内的直线不垂直，则他不与平面垂直）；

追问

你用的是勾股定理证的哦？不过咱要的是立体几何的证法，还有MN⊥平面A1BC1是绝对成立的

追答

原题是要证明MN⊥平面A'BC
可证明MN⊥BC和MN⊥A'C即可；
连接AB', AC', M肯定在AB'上，且平分AB'；（因为M是A‘B的中点，平行四边形ABB‘A’的对角线平分）；
则在△AB'C'中，M，N分别是AB'和B'C'的中点，则MN//AC'; (AC'在平面A'BC上）；
又知AA'C'C是正方形，有AC‘⊥A'C, 所以MN⊥A’C；（1）
由B'C'⊥CC', B’C‘⊥A'C' (已知条件和三棱柱的性质），知B'C'⊥平面AA'C'C;
所以B'C'⊥AC'；
又B'C'//BC, MN//AC';
所以MN⊥BC; (BC在平面A'BC上）；（2）
由（1）（2）得证，MN⊥平面A’BC;

Answer 2

你的问题打错了吧。。。应该是平面A1BC。。。跟我要问的一样一样。。。

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/276256854

Answer 4

,bdfjngkbflfd