Question

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2且f(1/2)=0，当x>1/2，f(x)>0，求单调性

拒绝Control+C and Control+V！

Answer 1

证明：∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2 且f(1/2)=0，
∴f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2，
∵f(x+1)=f(x)+f(1)+1/2=f(x)+1，
对于任意，都满足，f(x+1)=f(x)+1，即f(x)=x+a，
又f(1/2)=0，
∴f(x)=x-1/2，
f'(x)=1，
∴f(x)是R上的单调递增函数.

Answer 2

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2且f(1/2)=0，
∴f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2，
而f(x+1)=f(x)+f(1)+1/2=f(x)+1，
对于任意，都满足，f(x+1)=f(x)+1，即f(x)=x+a，
而f(1/2)=0，
∴f(x)=x-1/2，
f'(x)=1，
∴f(x)是单调递增函数.