Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,求解析式

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,求解析式
4a分之一减2分之1

Answer 1

f(x)=ax² + bx + c
f(3-x)=a(3-x)² +b(3-x) + c=ax² - (6a+b)x + 9a+3b+c
=f(x)=ax² + bx + c
所以可得，b=-(6a+b)，b= - 3a；
又f(1)=0，即a+b+c=0，所以可得，c-2a=0，即c=2a
又对任意实数f(x)≥1/(4a)-1/2恒成立，
即a>0，且(4ac-b²)/(4a) = (4a*2a -9a²)/(4a) =-a/4 ≥1/(4a)-1/2
即 -a/4 ≥1/(4a)-1/2，两边同乘以"4a"(a>0，不等号不改变方向)，再移项可得，
a² - 2a + 1≤0，即(a-1)² ≤0 ，所以，当且仅当a=1时，不等式方成立，
所以，a=1, b=-3, c=2
所以，f(x)=x² - 3x + 2

追问

睡觉了晚上来看

追答

O

Answer 2

最后结果是f(x)=x^2-3x+2
首先由.f(3-x)=f(x)，可以得出2bx+6ax=9a+3b
由.f(1)=0得出a+b+c=0
由.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立，得出二次函数开口向上（a>0最后解关于a的一元二次方程式的时候有用）且最小值 (4ac-b²)/4a=1/4a-1/2
再由.f(3-x)=f(x)得出抛物线对称轴为 3/2，，那么-b/2a=3/2
4个方程联立可以解出结果为f(x)=x^2-3x+2

Answer 3

∵f(3-x)=f(x)
∴f(x)关于x=3/2对称
∴-b/(2a)=3/2 ①
∵f(1)=0
∴a+b+c=0 ②
∵f(x)≥1/(4a)-1/2恒成立
∴关于x的一元二次不等式ax²+bx+c-1/(4a)+1/2≥0恒成立
则a＞0，△=b²-4a[c-1/(4a)+1/2]≤0 ③
解① ② ③得a=1,b=-3,c=2
∴f(x)=x²-3x+2

Answer 4

=1438250SBV！

Answer 5

f（x）=x^2-3x+2