Question

f(x+y)=f(x)+f(y),已知f(x)连续且单调，怎样证明它是一次函数

Answer 1

f(0)=0 与 f(-x)=-f(x )容易得到，证明 f(x)=cx 需要用到有理数在实数中的稠密性。
首先令 y=x 得 f(2x)=2f(x) ；然后 y=2x 得 f(3x)=3f(x) ；重复下去得到 f(nx)=nf(x), n为任意整数。由此换个写法也就是 f(x)=nf(x/n) , 即 f(x/n)=1/n*f(x) 。进而得到对任意有理数 p/q , 有 f(px/q)=p/q*f(x) 。
然后利用有理数的稠密性以及 f 连续的条件得到对任意实数 r ,有 f(rx)=rf(x)。
最后记 c=f(1) , 于是就有 f(x)=xf(1)=cx 。
你给的题干里的单调性不需要。

Answer 2

有连续性可知 and f(0)=0
对于任意x∈R
df(x)/dx=lim(y→0)(f(x+y)-f(x))/(x+y-x)=lim(y→0)(f(y)-f(0))/(y-0)=f'(0)=c1
so f(x)=c1x+c2