Question

微分方程 问题。知道的高手帮忙解答一下啊。给下具体过程谢谢了。 急急急~！

首先，设置这个微分方程的初值条件。然后解决，一个容器里面有300加仑的盐水，盐水里面包含30英镑的盐。 另外还有一瓶盐水其浓度是4英镑/加仑。 把这瓶盐水以3加仑/分钟的速度导入容器里面，并且均匀搅拌。然后再以 4加仑/分的速度让盐水从容器里面流出。 设y(t) = 所有的盐在这个容易里面当时间是t的时候。求，y(t).

Answer 1

y(t)表示t时刻为容器当中盐总量，那么y'(t)就是t时刻容器内盐总量增加（减少）的瞬时速度。
vr=3*4表示盐进入的速度。
vc=4*m表示盐流出的速度。其中m表示溶液当前的盐密度，注意它是t的函数。
那么方程就可以列出来
y'(t)=vr-vc=12-4m(t)（方程1），解读为盐在t时刻增加（减少）的速度等于盐流入的速度减去盐流出的速度。
密度m(t)=y/V，注意到y和V均为时间t的函数，解读为t时刻溶液密度等于t时刻溶液中盐的重量除以t时刻溶液体积。其中V(t)=300+3t-4t，所以m=y/(300+3t-4t) 方程2。
方程2带入方程1可得最终结果：
y'=3*4-4y/(300+3t-4t)
其中y是t的函数。
注意到，t=0时刻，溶液中盐的总量y(0)=30已知，溶液中盐的增加（减少）速度y'(0)=0已知。
所以，问题转化为微分方程y'=3*4-4y/(300+3t-4t)，t=0时,y(0)=30,初值问题的解。
此方程可用求根公式很简单的求得解析解。我解的结果是
y =1200 - (13*(t - 300)^4)/90000000 - 4*t

Answer 2

y(t) 是指t分钟后盐的重量吧？
一开始有30英镑盐，加入另一瓶盐水，t时间后，加入了3t加仑的盐水，也就是加入了12t英镑的盐，此时，容器里有30+12t 英镑的盐，此时盐水的浓度为（30+12t）/（300+3t），
盐水又以一定速度流出，在t的时候，流出了4t加仑的盐水，
流出的盐水的质量为[（30+12t）/（300+3t）]*4t，
所以此时剩余的盐的重量为30+12t -[（30+12t）/（300+3t）]*4t=y(t).

Answer 3

。。。