Question

n阶矩阵,为什么AA*=|A|E=O=>r(A)+r(A*)≤n?

Answer 1

因为 AA*=|A|E=O
所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解
所以 A*的列向量可由AX=0的基础解系线性表示
所以 r(A*) <= AX=0的基础解系的秩 = n - r(A).
故有 r(A) + r(A*) <= n.

注: 可推广到一般情况
若 AB=0, A,B分别是m行n列, n行s列矩阵
则 r(A) + r(B) <= n.

Answer 2

书上有定理:
如果AB=O,那么
r(A)+r(B)<=n (n为A的列数,B的行数)

追问

为什么呢？我看居余马的线性代数，真没找着

追答

应该在矩阵的初等变换那一章里面,大概有八条性质,证明要到方程组解的结构那里,
其实很简单: AX=0,系数矩阵A的秩和解集的秩之和=n, (n为未知数的个数)
而B可以看作是有若干个解向量组成的集合,当然它的秩小于等于解集的秩
所以r(A)+r(B)<=n