Question

lim(x→+∞)e^(lnx/x)-1/x^(-1/2)=lim(x→+∞)lnx/x*x^(-1/2)

我不明白这个过程是怎么得出的，麻烦写详细步骤，能列举公式，不胜感谢！

Answer 1

当x趋向于0时，e^x-1与x是等价无穷小，求极限时可以互相替换
这里，把lnx/x看成一个一个整体就可以了，当x趋向于正无穷大时，lnx/x趋向于0，所以e^(lnx/x)-1等价于lnx/x

Answer 2

设为A(以下求极限符号省略)
lnA=ln(pi/2-arctanx)/lnx
用L'Hospital: =[1/(pi/2-arctanx)*(-1/(x^2+1))]/(1/x)
=-x/[(pi/2-arctanx)*(x^2+1)]
=-(1/x)/(pi/2-arctanx)
=-(1/x^2)/[1/(1+x^2)]
=-1

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