Question

求解高中一元二次不等式恒成立问题

不等式（m+1)x²- （1-m）x+m≤0 对任意X都成立 求实数m的取值 最好有过程 能适当进行分析的

Answer 1

因为 对任意 X 都成立
所以(m + 1) < 0，且△ ≤ 0

m + 1 < 0
m < -1

△ ≤ 0
(1 - m)² - 4m(m + 1) ≤ 0
3m² + 6m - 1 ≤ 0
(-3 - 2√3)/3 ≤ m ≤ (-3 + 2√3)/3

综上：(-3 - 2√3)/3 ≤ m < -1

Answer 2

不等式（m+1)x²- （1-m）x+m≤0 对任意X都成立
解：当m+1=0,即m=-1时，原不等式为-(1-m)x+m≤0,即 2x+1≥0,不是对任意x都成立，不合题意；
当m+1≠0,即m≠-1时，要使不等式（m+1)x²- （1-m）x+m≤0 对任意X都成立，
应有m+1≤0且△≤0，
即m≤-1且 △=[-(1-m)]^2-4(m+1)m≤0, 3m^2+6m-1≥0,
△1=36-4*3*(-1)=48,m=(-6±√48)/6=(-2±2√3)/3,
所以m≤(-2-2√3)/3,或m≥(-2+2√3)/3,与m≤-1取交集，得
m≤(-2-2√3)/3,或m≥(-2+2√3)/3

Answer 3

当m=-1，不等式为一次不等式
原不等式：x>=-1/2(x不属于R，不成立，舍去)

当m不等于-1时，不等式为一元二次不等式：
根据图像，要求：
m+1<0且b^2-4ac=-3m^2-6m+1<=0

解得：m<=[-3-2(根号3)]/3

综上可知m<=[-3-2(根号3)]/3.

Answer 4

（m+1)x²- （1-m）x+m≤0
当m=-1时，原式=-2x-1，不满足对任意x都有小于零。（这步是必要的，因为下面要运算的Δ必须保证x²系数不为零，说白了就是不写要扣分）
当m≠ -1时，m+1≤0:；Δ=（1-m）²-4m（m+1）≤0（上面两式联立）
解得，m+1≤-2/√3，即m≤-1-2/√3

抱歉根号三打得有点诡异，但不影响理解

Answer 5

当m=-1时，函数为一次函数，-2x-1≤0 解得：x>-1/2 不满足条件；
当m+1<0且（1-m)²-4m(1+m)>=0时，函数为一元二次函数，开口向下，有一个或两个根，此时对任意x都成立。
解得的就是答案了。