Question

求解不等式恒成立问题

不等式3x²+2x+2/x²+x+1 ≥m 对任意实数x都成立 求自然数m的值 要有过程啊 急求 最好加上些分析

Answer 1

因x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≥3/4>0
所以3x²+2x+2≥m(x²+x+1)
(3-m)x²+(2-m)x+2-m≥0恒成立
m=3时，-x-1≥0 x≤1不成立
所以只有3-m>0 即m<3时，才有可能
此时，按判别式原理
(2-m)²-4(2-m)(3-m)≤0
(m-2)(m-2-4m+12)≤0
(m-2)(-3m+10)≤0
(m-2)(3m-10)≥0
解得m≤2或m≥10/3
所以m≤2

Answer 2

题目是否是应该 （3x²+2x+2）/（x²+x+1 ）≥m （以下是按此做的）
首先分析分母 x²+x+1=（x+1/2）²+3/4≥3/4
所以不等式同时乘以分母不等号不改变
不等式可化为 3x²+2x+2≥m（x²+x+1 ）
（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0
从二项式f(x)=ax²+bx+c的图像可知
要使f(x)≥0恒成立即函数图像在x轴的上方，只有同时满足下面两个条件
1、 a>0（保证图像开口向上）
2、图像与x轴的没有交点或只有一个交点，即Δ=b²-4ac≤0
所以只要 （3-m）>0和 （2-m）²-4（3-m）（2-m）≤ 0 同时成立就行
解不等式就得出自然数m的取值范围。