Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,O是AB上一点,且AO:OB=2:5

（1）过点O作OH⊥AH垂足为H，求点O到直线AC的距离OH的长：（图一）
（2）若P是边AC上的动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合）（图二）
①求证：△POH∽QPC
②设AP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域
③当AP何值时，能使△OPQ与CPQ相似（直接写出结果）

Answer 1

(1)OH⊥AC,BC⊥AC,则⊿AOH∽⊿ABC,OH/BC=AO/AB,即OH/3=2/(2+5),OH=6/7;
(2)①PO垂直PQ,则∠OPH+∠CPQ=90°;
又∠CQP+∠CPQ=90°.故∠OPH=∠CQP;
又∠PHO=∠C=90°.所以：△POH∽QPC
②AH/AC=AO/AB,即AH/4=2/7,AH=8/7,PH=X-8/7.
△POH∽QPC,则OH/PC=PH/CQ,即(6/7)/(4-X)=(X-8/7)/Y.
得:y=(-7/6)x²+6x-16/3.(8/7<X≤4)
③当OQ平行AC时,AP=26/7或10/7;
当PQ平分∠CQD时,可证得点P为CH中点,PC=PH,4-X=X-8/7, X=18/7.即AP=18/7.
即AP=26/7或10/7或18/7时,能使△OPQ与CPQ相似.

Answer 2

（1）AO：OB=2：5，AO ：AB=2：7
AO：AB=OH：BC，因为BC=3，所以OH：3=2：7,所以OH=6/7
（2）
1证明：角PHD=角QCP=直角，
角OPH+角QPC=90度，角OPH+角POH=90度，所以角QPC=角POH
同理，角OPH+角QPC=90度，角QPC+角PQC=90度，所以角OPH=角PQC
所以：△POH∽△QPC
2.因为△POH∽△QPC
所以OH：PC=PH：y
又AH：AC=OH：BC，所以，AH=8/7，所以PH=AP-AH=x-8/7,带入上式
（6/7）：（4-x）=（x-8/7)：y
所以y=-（7/6）x^2+6x-16/3，8/7<x<29/14并43/14<x<4
3.AP=25/14